均值、方差和均方值

对于离散信号（噪声） \( x(i) \)

均值

\( \mu_{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x(i) \) ，对于电压或电流型随机噪声，均值 μ表示其直流分量

方差

\( \sigma_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}[x(i)-\mu _{x}]^{2} \)，方差反应随机噪声的起伏程度

均方值

\( \overline{x^{2}} \) 表示随机噪声瞬时取值的平方的数学期望值

\( \overline{x^{2}} \)的平方根是随机噪声的有效值 （root mean square，RMS）

\( \overline{x^{2}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x(i)^{2} \)

\( RMS = \sqrt{ \overline{x^{2}} } = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x(i)^{2}} \)

均值、方差和均方值之间的关系

\( \overline{x^{2}} = \mu_{x}^{2} + \sigma_{x}^{2} \)

可以看作总体功率=直流功率+交流功率

推导参考期望和方差的联系

\begin{equation} \begin{aligned} D[X]&=E[X-E[X]]^2 \\ &=E[X^2-2X\cdot E[X]+[E[X]]^2]\\ &=E[X^2]-E[2X\cdot E[X]]+[E[X]]^2\\ &=E[X^2]-2E[X]\cdot E[X]+[E[X]]^2\\ &=E[X^2]-[E[X]]^2\\ \end{aligned} \end{equation}