偏振是横波的一种性质,电磁波的偏振态通常是指电场矢量的方向。
实际生活中的光源,大多是非相干光,他们叠加后成为非偏振光或随机偏振光。
这里我们只讨论简单的模型,即单色平面波。
偏振的表示
假设电磁波沿z方向传播,它的数学表达式可以写作
→E=Ex→x+Ey→y
复数域表示为
˜E=~Ex→x+~Ey→y
其中
~Ex=E0xei(kz−ωt+φx)
~Ey=E0yei(kz−ωt+φy)
所以电场在复数域的表示可以写为
˜E=[E0xeiφx→x+E0yeiφy→y]ei(kz−ωt)=~E0ei(kz−ωt)
因为偏振态完全由电场分量的相对强度和相位决定,根据 ~E0就可以完全确定光的偏振态,其矩阵形式称为琼斯矢量(Jones vector)
~E0=[E0xeiφxE0yeiφy]琼斯矢量无法表示 非偏振光或随机偏振光
线偏振光
任意α的线偏光,相对相位差为0或π,可以让φx=φy=0
~E0=[Acos(α)Asin(α)]为了使 ~E0 归一化,此处 A = 1
假设 φx=0,φy=ε ,定义相位差 Δφ=φy–φx=ε
当相位差为+π/2时,为左旋光(left-circularly polarized,LCP),电场矢量的箭头逆时针旋转
~E0=[Acos(α)Asin(α)]=[AAeiπ/2]=A[1i]此处A=1√2
当相位差为−π/2时,为右旋光(right-circularly polarized,RCP) ,电场矢量的箭头顺时针旋转
~E0=1√2[1−i]圆偏振光
更加一般的形式
顺时针
~E0=[AiB]逆时针
~E0=[A−iB]椭圆偏振光
顺时针
~E0=[AB+iC]逆时针
~E0=[AB−iC]更加一般的形式的描述,椭圆方程
~Ex2E20x+~Ey2E20y–2~Ex~EyE0xE0ycosε=sin2ε椭圆的参数可由方向角(orientation angle)ψ(0≤ψ≤π)和椭圆度角表示(ellipticity angle) χ(−π/4≤χ≤π/4)
引入辅助角(auxiliary angle)
tanα=E0yE0x,0≤α≤π/2
所以
tan2ψ=(tan2α)cosεsin2χ=(sin2α)sinε引入庞加莱球(Poincare sphere)
x=cos(2χ)cos(2ψ),0≤ψ≤πy=cos(2χ)sin(2ψ),−π/4≤χ≤π/4z=sin2χ1=x2+y2+z2琼斯矩阵
光学元件可以改变透射光的偏振态,用琼斯矩阵表示光学元件对透射光偏振态的改变。
偏振器
只透过某一线偏振态的光,下面的矩阵表示,只透过→x方向的分量
M=[1000]相位延迟器
使电场分量的相位分别延迟εx 和 εy
E0xeiφx→E0xei(φx+εx)E0yeiφy→E0yei(φy+εy)写成矩阵形式
[eiεx00eiεy][E0xeiφxE0yeiφy]=[E0xei(φx+εx)E0yei(φy+εy)]所以普适的相位延迟器的琼斯矩阵为
M=[eiεx00eiεy]四分之一波片
quarter-wave plate (QWP) 满足|εx–εy|=π/2
慢轴垂直时 εx–εy=−π/2
M=[e−iπ/400eiπ/4]=e−iπ/4[100i]慢轴水平时εx–εy=π/2
M=[eiπ/400e−iπ/4]=eiπ/4[100−i]二分之一波片
half-wave plate (HWP) 满足|εx–εy|=π
同理
慢轴垂直时 εx–εy=−π
M=[e−iπ/200eiπ/2]=e−iπ/2[100−1]慢轴水平时εx–εy=π
M=[eiπ/200e−iπ/2]=eiπ/2[100−1]旋转
将某一角度 θ 的线偏振光旋转 β 角度
θ→(θ+β)
R(β)=[cosβ−sinβsinβcosβ]旋转矩阵的性质RR−1=RRT=I=R(β)R(−β)
若将光学元件旋转 β 角度
M(β)=R(β)MR(−β)
斯托克斯参数
S20=S21+S22+S23
其中φy–φx=ε
考虑到一般椭圆偏振的情况, 实用椭圆参数,也可以写为
S=(S0S1S2S3)=S0(1cos(2χ)cos(2ψ)cos(2χ)sin(2ψ)sin(2χ))斯托克斯分量可以表示偏振光,也可以表示部分偏振光或随机偏振光
定义偏振度P(degree of polarization ,DOP)
S=(S0S1S2S3)=(1−P)(S0000)+P(S0S1S2S3),0≤P≤1偏振度P可由下列公式计算
P=IpolItot=√S21+S22+S23S0
参考文献
- Pedrotti, F. L., Pedrotti, L. M. & Pedrotti, L. S. Introduction to optics. (Pearson/Prentice Hall, 2007).
- Collett, E. Field guide to polarization. (SPIE Press, 2005).
- https://spie.org/publications/fg05_p57-61_jones_matrix_calculus
- https://en.wikipedia.org/wiki/Jones_calculus
- http://electron9.phys.utk.edu/optics421/modules/m7/Jones.htm