偏振是横波的一种性质，电磁波的偏振态通常是指电场矢量的方向。

实际生活中的光源，大多是非相干光，他们叠加后成为非偏振光或随机偏振光。

这里我们只讨论简单的模型，即单色平面波。

偏振的表示

假设电磁波沿z方向传播，它的数学表达式可以写作

$$\vec{\mathbf{E}}= E_{x}\vec{\mathbf{x}} +E_{y}\vec{\mathbf{y}}$$

复数域表示为

$$\widetilde{\mathbf{E}}= \widetilde{E_{x}}\vec{\mathbf{x}} +\widetilde{E_{y}}\vec{\mathbf{y}}$$

其中

$$\widetilde{E_{x}} = E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\varphi _{x})}$$

$$\widetilde{E_{y}} = E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\varphi _{y})}$$

所以电场在复数域的表示可以写为

$$\widetilde{\mathbf{E}} = \left [ E_{0x}e^{i\varphi _{x}} \vec{\mathbf{x}} + E_{0y}e^{i\varphi _{y}} \vec{\mathbf{y}} \right ]e^{i(kz-\omega t)} = \widetilde{ \mathbf {E_{0}}} e^{i(kz-\omega t)}$$

因为偏振态完全由电场分量的相对强度和相位决定，根据 $\widetilde{ \mathbf {E_{0}}}$就可以完全确定光的偏振态，其矩阵形式称为琼斯矢量（Jones vector）

$$\begin{equation} \widetilde{ \mathbf {E_{0}}} = \begin{bmatrix} E_{0x}e^{i\varphi_{x}} \\ E_{0y}e^{i\varphi _{y}} \end{bmatrix} \end{equation}$$

琼斯矢量无法表示 非偏振光或随机偏振光

线偏振光

任意$\alpha$的线偏光，相对相位差为0或π，可以让$\varphi_{x} =\varphi_{y} = 0$

$$\begin{equation} \widetilde{ \mathbf {E_{0}}} = \begin{bmatrix} Acos\left ( \alpha \right ) \\ Asin\left ( \alpha \right ) \end{bmatrix} \end{equation}$$

为了使 $\widetilde{ \mathbf {E_{0}}}$ 归一化，此处 A = 1

假设 $\varphi_{x} = 0$，$\varphi_{y} = \varepsilon$ ，定义相位差 $\Delta \varphi = \varphi_{y} – \varphi_{x} = \varepsilon$

当相位差为$+\pi /2$时，为左旋光（left-circularly polarized，LCP），电场矢量的箭头逆时针旋转

$$\begin{equation} \widetilde{ \mathbf {E_{0}}} = \begin{bmatrix} Acos\left ( \alpha \right ) \\ Asin\left ( \alpha \right ) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} A \\ A e^{i\pi /2} \end{bmatrix} =A\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \end{equation}$$

此处$A =\frac{1}{\sqrt{2}}$

当相位差为$-\pi /2$时，为右旋光（right-circularly polarized，RCP） ，电场矢量的箭头顺时针旋转

$$\begin{equation} \widetilde{ \mathbf {E_{0}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} \end{equation}$$

圆偏振光

更加一般的形式

顺时针

$$\begin{equation} \widetilde{ \mathbf {E_{0}}} = \begin{bmatrix} A \\iB \end{bmatrix} \end{equation}$$

逆时针

$$\begin{equation} \widetilde{ \mathbf {E_{0}}} = \begin{bmatrix} A \\-iB \end{bmatrix} \end{equation}$$

椭圆偏振光

顺时针

$$\begin{equation} \widetilde{ \mathbf {E_{0}}} = \begin{bmatrix} A \\ B+iC \end{bmatrix} \end{equation}$$

逆时针

$$\begin{equation} \widetilde{ \mathbf {E_{0}}} = \begin{bmatrix} A \\ B-iC \end{bmatrix} \end{equation}$$

更加一般的形式的描述，椭圆方程

$$\begin{equation} \frac{ \widetilde{ E_{x}}^{2}} {E_{0x}^{2}} + \frac{ \widetilde{ E_{y}}^{2}} {E_{0y}^{2}} – \frac{ 2\widetilde{ E_{x}}\widetilde{ E_{y}}} {E_{0x}E_{0y}} cos\varepsilon = sin^{2}\varepsilon \end{equation}$$

椭圆的参数可由方向角（orientation angle）$\psi\left ( 0 \leq \psi \leq \pi \right )$和椭圆度角表示（ellipticity angle） $\chi \left ( -\pi/4 \leq \chi \leq \pi/4 \right )$

引入辅助角（auxiliary angle）

$$tan\alpha = \frac{E_{0y}}{E_{0x}}, 0 \leq \alpha \leq \pi/2$$

所以

$$\begin{equation} tan2\psi = \left ( tan2\alpha \right )cos\varepsilon \\ sin2\chi = \left ( sin2\alpha \right )sin\varepsilon \end{equation}$$

引入庞加莱球（Poincare sphere）

$$\begin{equation} \begin{aligned} x &= cos(2\chi)cos(2\psi ) , 0 \leq \psi \leq \pi \\ y &= cos(2\chi)sin(2\psi) , -\pi/4 \leq \chi \leq \pi/4 \\ z &= sin2\chi \\ 1 &= x^{2}+y^{2}+z^{2} \end{aligned} \end{equation}$$

琼斯矩阵

光学元件可以改变透射光的偏振态，用琼斯矩阵表示光学元件对透射光偏振态的改变。

偏振器

只透过某一线偏振态的光，下面的矩阵表示，只透过$\vec{x}$方向的分量

$$\begin{equation} \mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$$

相位延迟器

使电场分量的相位分别延迟$\varepsilon _{x}$ 和 $\varepsilon _{y}$

$$\begin{equation} E_{0x}e^{i\varphi_{x}} \rightarrow E_{0x}e^{i(\varphi_{x}+\varepsilon _{x})} \\ E_{0y}e^{i\varphi _{y}} \rightarrow E_{0y}e^{i(\varphi_{y}+\varepsilon _{y})} \end{equation}$$

写成矩阵形式

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} e^{i\varepsilon_{x}} & 0 \\ 0 & e^{i\varepsilon_{y}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_{0x}e^{i\varphi_{x}} \\ E_{0y}e^{i\varphi_{y}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_{0x}e^{i(\varphi_{x}+\varepsilon_{x})} \\ E_{0y}e^{i(\varphi_{y}+\varepsilon_{y})} \end{bmatrix} \end{equation}$$

所以普适的相位延迟器的琼斯矩阵为

$$\begin{equation} \mathbf{M} = \begin{bmatrix} e^{i\varepsilon_{x}} & 0 \\ 0 & e^{i\varepsilon_{y}} \end{bmatrix} \end{equation}$$

四分之一波片

quarter-wave plate (QWP) 满足$\left | \varepsilon_{x} – \varepsilon_{y} \right | = \pi/2$

慢轴垂直时 $\varepsilon_{x} – \varepsilon_{y} = -\pi/2$

$$\begin{equation} \mathbf{M} = \begin{bmatrix} e^{-i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{bmatrix} = e^{-i\pi/4}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \end{equation}$$

慢轴水平时$\varepsilon_{x} – \varepsilon_{y} = \pi/2$

$$\begin{equation} \mathbf{M} = \begin{bmatrix} e^{i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/4} \end{bmatrix} = e^{i\pi/4}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \end{equation}$$

二分之一波片

half-wave plate (HWP) 满足$\left | \varepsilon_{x} – \varepsilon_{y} \right | = \pi$

同理

慢轴垂直时 $\varepsilon_{x} – \varepsilon_{y} = -\pi$

$$\begin{equation} \mathbf{M} = \begin{bmatrix} e^{-i\pi/2} & 0 \\ 0 & e^{i\pi/2} \end{bmatrix} = e^{-i\pi/2}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \end{equation}$$

慢轴水平时$\varepsilon_{x} – \varepsilon_{y} = \pi$

$$\begin{equation} \mathbf{M} = \begin{bmatrix} e^{i\pi/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/2} \end{bmatrix} = e^{i\pi/2}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \end{equation}$$

旋转

将某一角度 $\theta$ 的线偏振光旋转 $\beta$ 角度

$\theta \rightarrow \left ( \theta+ \beta \right )$

$$\begin{equation} \mathbf{R}(\beta) = \begin{bmatrix} cos\beta & -sin\beta \\ sin\beta & cos\beta \end{bmatrix} \end{equation}$$

旋转矩阵的性质$\mathbf{R}\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}\mathbf{R}^{T} = \mathbf{I} = \mathbf{R}(\beta)\mathbf{R}(-\beta)$

若将光学元件旋转 $\beta$ 角度

$$\mathbf{M}(\beta) = \mathbf{R}(\beta) \mathbf{M} \mathbf{R}(-\beta)$$

斯托克斯参数

$$S_{0}^{2} = S_{1}^{2} +S_{2}^{2} +S_{3}^{2}$$

$$\begin{equation} S = \begin{pmatrix} S_{0}\\ S_{1}\\ S_{2}\\ S_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_{0x}^{2} + E_{0y}^{2}\\ E_{0x}^{2} – E_{0y}^{2}\\ 2E_{0x}E_{0y}cos\varepsilon \\ 2E_{0x}E_{0y}sin\varepsilon \end{pmatrix} \end{equation}$$

其中$\varphi_{y} – \varphi_{x} = \varepsilon$

考虑到一般椭圆偏振的情况， 实用椭圆参数，也可以写为

$$\begin{equation} S = \begin{pmatrix} S_{0}\\ S_{1}\\ S_{2}\\ S_{3} \end{pmatrix} = S_{0}\begin{pmatrix} 1\\ cos(2\chi)cos(2\psi )\\ cos(2\chi)sin(2\psi )\\ sin(2\chi ) \end{pmatrix} \end{equation}$$

斯托克斯分量可以表示偏振光，也可以表示部分偏振光或随机偏振光

定义偏振度P（degree of polarization ，DOP）

$$\begin{equation} S = \begin{pmatrix} S_{0}\\ S_{1}\\ S_{2}\\ S_{3} \end{pmatrix} = \left ( 1- \mathbf{\mathit{P}} \right ) \begin{pmatrix} S_{0}\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + \mathbf{\mathit{P}} \begin{pmatrix} S_{0}\\ S_{1}\\ S_{2}\\ S_{3} \end{pmatrix}, 0 \leq \mathbf{\mathit{P}} \leq 1 \end{equation}$$

偏振度P可由下列公式计算

$$\mathbf{\mathit{P}} = \frac{I_{pol}}{I_{tot}} = \frac{\sqrt{S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}$$

参考文献

1. Pedrotti, F. L., Pedrotti, L. M. & Pedrotti, L. S. Introduction to optics. (Pearson/Prentice Hall, 2007).
2. Collett, E. Field guide to polarization. (SPIE Press, 2005).
3. https://spie.org/publications/fg05_p57-61_jones_matrix_calculus
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Jones_calculus
5. http://electron9.phys.utk.edu/optics421/modules/m7/Jones.htm

对于离散信号（噪声） $x(i)$

均值

$\mu_{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x(i)$ ，对于电压或电流型随机噪声，均值 μ表示其直流分量

方差

$\sigma_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}[x(i)-\mu _{x}]^{2}$，方差反应随机噪声的起伏程度

均方值

$\overline{x^{2}}$ 表示随机噪声瞬时取值的平方的数学期望值

$\overline{x^{2}}$的平方根是随机噪声的有效值 （root mean square，RMS）

$\overline{x^{2}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x(i)^{2}$

$RMS = \sqrt{ \overline{x^{2}} } = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x(i)^{2}}$

均值、方差和均方值之间的关系

$\overline{x^{2}} = \mu_{x}^{2} + \sigma_{x}^{2}$

可以看作总体功率=直流功率+交流功率

推导参考期望和方差的联系

$$\begin{equation} \begin{aligned} D[X]&=E[X-E[X]]^2 \\ &=E[X^2-2X\cdot E[X]+[E[X]]^2]\\ &=E[X^2]-E[2X\cdot E[X]]+[E[X]]^2\\ &=E[X^2]-2E[X]\cdot E[X]+[E[X]]^2\\ &=E[X^2]-[E[X]]^2\\ \end{aligned} \end{equation}$$